Спросить
Войти
Категория: Математика

О НЕОГРАНИЧЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРАХ С КВАЗИСИММЕТРИЧНЫМИ ЯДРАМИ

Автор: Коротков Виталий Борисович

Владикавказский математический журнал 2020, Том 22, Выпуск 2, С. 18^23

УДК 517.983

DOI 10.46698/ у3646-7660-8439-j

О НЕОГРАНИЧЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРАХ С КВАЗИСИММЕТРИЧНЫМИ ЯДРАМИ

В. Б. Короткое1

1 Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Россия, 630090, Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4 E-mail: vitalborkor@gmail.com

Аннотация. В 1935 г. фон Нейман установил, что предельный спектр самосопряженного карле-мановского интегрального оператора в L2 содержит 0. Этот результат был обобщен автором на несамосопряженные операторы: предельный спектр оператора, сопряженного к карлемановскому интегральному оператору, содержит 0. Будем говорить, что плотно определенный в L2 линейный оператор A удовлетворяет обобщенному условию фон Неймана, если 0 принадлежит предельному спектру сопряженного оператора A*. Обозначим через Bo класс всех лшейшх операторов в L2, удовлетворяющих обобщенному условию фон Неймана. Автором было доказано, что каждый определенный на L2 ограниченный интегральный оператор принадлежит классу Bo. Возникает вопрос:

тегрального оператора? В статье дается отрицательный ответ на этот вопрос и устанавливается

Mathematical Subject Classification (2010): 45Р05, 47В34.

Образец цитирования: Короткое В. Б. О неограниченных интегральных операторах с квазисимметричными ядрами // Владикавк. мат. журн.—2020.—Т. 22, вып. 2.—С. 18-23. DOI: 10.46698/у3646-7660-8439-j.

Пусть (X, ц) — пространство с положительной мерой ц, L0 := L0(X,y) — совокупность всех ^-измеримых ц-почти всюду конечных функций на X с обычным отождествлением функций, отличающихся одна от другой лишь на множествах ц-меры нуль, L2 := L2(X, ц) — пространство всех функций из Lo с суммируемым квадратом. Через || ■ У и (■, ■) обозначим норму и скалярное произведение в L2.

Мера ц называется а-конечной, если существуют множества Xn С X, цXn < оо, n = 1, 2,..., такие, что X = Xn. Атомом меры ц называется множество положительной меры, непредставимое в виде объединения двух непересекающихся множеств

ской, если в X имеется множество положительной меры, не содержащее атомов меры ц. Всюду далее предполагается, что мера ц не является чисто атомической и а-конечна. Этим условиям удовлетворяет мера Лебега измеримых по Лебегу множеств евклидова пространства или вещественной числовой прямой.

© 2020 Короткое В. В.

Линейный оператор Т : От С ¿2 — ¿о называется интегральным, если найдется определенная на X х X х ^-измеримая х ^)-почти всюду конечная ф ункция К (ж, у) такая, что для любого / € От

T/ (x)= / K(x,y)/(y) d^(y)

для ^-почти всех x € X. Интеграл в (1) понимается в лебеговом смысле. Функция K(x, y)

тегральный оператор по формуле (1).

Определение. Нуль принадлежит предельному спектру ас(H) оператора H : Dh С L2 — L, если существует ортонормированная последовательность {/n} С Dh такая, что ||H/n|| — 0 при n — то.

Если T : L2 — L — ограниченный интегральный оператор, то 0 € ас(T*), где T* — T

результата дано в книге Халмоша и Сандера [3, теорема 15.1].

Возникает вопрос: будет ли иметь место включение 0 € ас(T*), если T — произвольный неограниченный интегральный плотно определенный замыкаемый оператор в L2? Отрицательный ответ на этот вопрос дает следующий

Пример. Пусть To : Тте(0,1) С L2(0,1) — L2(0,1) — линейный оператор, определяемый равенством

1

X.En л/тЕг

;dy, / € L^(0,1),

где {-шп} — ортонормированный базис Уолша, хеп — характеристическая функция множества Еп С (0,1) {Еп} — последовательность попарно не пересекающихся множеств, удовлетворяющих условию П\\/тЕп < оо, здесь т — мера Лебега. Тогда То — замыкаемый интегральный оператор с ядром

Ko(x,y) = f^nwn(x)*0L,

но 0 / ас(Т*).

Действительно, для любой функции / из 1)

1 1

/ /.&./&&•я/-&- У/./-=&/.&/• .7 = 1,2,...

о о ^ ^

Следовательно, Тд определен на {-шп}, поэтому Т0* плотно определен и То имеет замыкание — оператор Т0**. Далее, для любой функции / из 1) и всех ж € (0,1)

/ |Ко(ж,у)||/(у)|йу < ^пЦ/ЦооУ^К < оо,

0 п=1

гДе || • Уте — норма в 1), так что То — замыкаемый интегральный оператор. При

этом для любой функции д € От*

l|T0*g|2 =

^ XEn (y) f ,

n— 1 n

2 те 1 r 2 те 1 r 2

= Z n2 / gwn dx / gwn dx = | |g M2

n—1 J 0 n—1 J 0

Следовательно, 0 / ас(T*).

Обозначим через Bo класс всех линейных oneраторов H в L^, для которых 0 € и с (H *). Различные условия принадлежности опер аторов классу Bo даны в [4]. Ниже устанавливается еще одно такое условие.

Назовем ядро K(ж, у) квазисимметричным, если

|K(ж,у)| = |K(у,ж)| для (^ х ^)-иочти всех (ж, у) € X х X.

Условию (2) удовлетворяют все эрмитовы, косоэрмитовы, симметричные и кососим-метричные ядра.

Теорема 1. Пусть Т : От С ¿2 ^ ¿2 — неограниченный плотно определенный замыкаемый интегральный оператор с квазисимметричным ядром К (ж, у). Если существует вещественная неотрицательная функция а € положительная на множестве положительной меры, не содержащем атомов меры и удовлетворяющая условию

/ |К(и, г)|а(г) ^(г) € Ь2,

то 0 € ао (Т*).

< Выберем а > 0 так, чтобы множество Е = {ж € X : а(ж) ^ а} содержало подмножество е, 0 < ^е < сю, без атомов меры Пусть ^ € Ь0 и вирр^ := {ж € X : |^>(ж)| = 0}. Обозначим через %е характеристическую функцию множества е. Для любого / € ¿2 и любого Н € с виррН С е имеем, обозначив через || ■ норму в

J У ^ж,у)/(у)^(у)Л,(ж)с^(ж) = J J К(х,у)/(у)с11х(у)хе(х)Ь(х)с11х(х)

J JХе(ж)К(ж,у)/(y)d^(y) |h(x)| ф(ж) <УУ Xe(x)|K(ж,y)||f (у)| ф(у)|Л,(ж)| < llhiu/У |K (ж,у)| ¿м(ж)|/ (у)| ф(у) = У |К (у,ж)| ф(ж)|/(у)| ф(у)

^-IWloo [ [\\K(y,xMx)d(i(x)\\f(y)\\driv) ^-INIoollAellll/ll, (3)

Ae(y) := / |K(у,ж)|а(ж) ф(ж).

Из (3) вытекает, что для любого / € Dt

1

|(Т/,Л)| <-НЛНосНА.

поэтому h € Dt*■

Положим в (3) h = %e. Тогда го (3) следует для любого / € L2

Хе(жЖ(ж,у)/(у)

1

dfx(x) ^ —1|А,

Таким образом, ядро %е(ж)К(ж, у) порождает действующий из ¿2 в ^(е, ограниченный интегральный оператор г с нормой, не превосходящей ¿||Ае||.

Пусть {em} — последовательность множеств из e, удовлетворяющих условию 0 < — 0 при m — то. Положим в (3) h = Xem и обозначим через Pf оператор умножения на xf : Pf f = Xff f € Из (3) подобно предыдущему следует, что интегральный оператор Pemт с ядром Xem(ж)К(ж,y) действует из L2 в Li(e, ограничен и его норма не превосходит ¿||Ает||, где

Aem(y) := J |K(y,x)|a(x)

Пусть X0 = {y € X : Ae(y) < то)}. Тогда для любого y € X0 и любого m A2m (y) < A2 (y) и для люб ого y € X0 A2m (y) — 0 при m — то. Следовательно, ||Aem У2 = / A^m d^ — 0 при m —> то и 11 Pem т 11 ^ ¿||Aem|| —> 0 при m —> то. Отсюда из [5, теорема 1-2.9] оператор т : L2 — Li(e, вполне непрерывен.

Пусть D = {f € L2 : f € Dt, ||f || ^ 1} Множество PeTD = tD относительно компактно в Li(e, Возьмем равномерно ограниченную ортонормированную систему функций hn с supp hn С en = 1, 2,... В качест ве {hn} можно выбрать ортонормированную систему обобщенных функций Радемахера rn,e (их определение см., например, в [5, гл.1, §1])- Имеем {hn} С Dt * и в силу относительной компактности множества PeTDBLi(e,^)

||T *hn|| = sup |(T *hn,^)| = sup |(hn ,T^)| = sup |(Xehn,TV)| = SUp | (hn ,Xe^)| — 0 •ped ^ed ^ed ^ed

при n —)■ то, так как по лемме Римана — Лебега [3, с. 125] | f hnf с!ц| —> 0 при п —> то для любого f € Li, откуда

hnf (1ц

0 при n — то

для любого относительно компактного множества Т в ¿1 (и, в частности, для Т = РеТО) вследствие равномерной ограниченности {Л,га} и существования конечной е-сети для Т для любого е > 0. Следовательно, 0 € ас(Т*). >

Следствие. Пусть Т : Оу с Т2 — Т2 — неограниченный плотно определенный замыкаемый интегральный оператор с вещественным неотрицательным симметричным ядром. Если в Оу существует вещественная неотрицательная функция, положительная на множестве положительной меры, не содержащем атомов меры ц, то 0 € ас(Т*).

Зам ечание 1. Включение 0 € ас (Т*) позволяет существенно улучшить свойства

тегральному оператору: в [5, теорема IV. 3.7] доказано, что если ¿2 — сепарабельное пространство, то из 0 € ас(Т*) следует, что можно построить унитарный оператор и : ¿2 — ¿2 такой, что иТи-1 — интегральный оператор с ядром М(ж, у), удовлетворяющим условию Карлемана

У |М(ж, у)|2^ц(у) < то

для ц-почти всех ж € X и условию Ахиезера: существует положительная функция Ь € ¿о такая, что |М(ж,у)| ^ Ь(ж)Ь(у) для (ц х ц)-почти всех (ж, у) € X х X.

Замечание 2. Пусть ¿2 — сепарабельное пространство. Тогда интегральное уравнение

аз (ж) — АТз(ж) = / (ж), / (ж) € ¿2,

валентному интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода в ¿2 с ядерным оператором, а при а = 0 к эквивалентному интегральному уравнению 2-го рода в ¿2 с квазивырожденным карлемановским ядром

гДе {Яп} — произвольная последовательность попарно не пересекающихся множеств из X с конечными положительными мерами, {/п,л} С ¿2Это утверждение непосредственно следует из построений статьи [6], так как в них использовалось лишь включение 0 € ас(Т*). Заметим еще, что в [7] предложены два приближённых метода решения интегральных уравнений 2-го рода в ¿2 с ядрами (4).

1. Короткое В. Б. О некоторых свойствах частично интегральных операторов // Докл. АН СССР.— 1971. Т. 217, № 4.—С. 752-754.
2. Короткое В. Б. Интегральные операторы.—Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1977.—68 с.

Springer Verlag, 1978.^134 p.

№ l.-C. 118-122. DOI: 10.33048/smzh.2019.60.110.

5. Короткое В. Б. Интегральные операторы.—Новосибирск: Наука, 1983.—224 с.

Владикавк. мат. журн.^2016.^Т. 18, вып. 1.-С. 36-41. DOI: 10.23671/VNC.2016.1.5945. 7. Короткое В. В. Интегральные уравнения третьего рода с неограниченными операторами // Сиб. мат. журн.—2017.—Т. 58, № 2.-С. 333-343. DOI: 10.17377/smzh.2017.58.207.

Статья поступила 22 октября 2019 г.

Короткое Виталий Борисович

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

ведущий научный сотрудник лаборатории функционального анализа

РОССИЯ, 630090, Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4

E-mail: vitalborkor@gmail.com

Литература

Vladikavkaz Mathematical Journal 2020, Volume 22, Issue 2, P. 18^23

ON UNBOUNDED INTEGRAL OPERATORS WITH QUASISYMMETRIC KERNELS

Korotkov, V. B.1

1 Sobolev Institute of Mathematics, 4 Acad. Koptyug Ave., Novosibirsk 630090, Russia E-mail: vitalborkor@gmail.com

Abstract. In 1935 von Neumann established that a limit spectrum of self-adjoint Carleman integral operator in L2 contains 0. This result was generalized by the author on nonself-adjoint operators: the limit spectrum of the adjoint of Carleman integral operator contains 0. Say that a densely defined in L2 linear

operator A satisfies the generalized von Neumann condition if 0 belongs to the limit spectrum of adjoint operator A*. Denote by Bo the class of all linear operators in L2 satisfying a generalized von Neumann condition. The author proved that each bounded integral operator, defined on L2, belongs to Bo. Thus, the question arises: is an analogous assertion true for all unbounded densely defined in L2 integral operators? In this note, we give a negative answer on this question and we establish a sufficient condition guaranteeing that L2 B0

Mathematical Subject Classification (2010): 45P05, 47B34.

For citation: Korotkov, V. B. On Unbounded Integral Operators with Quasisymmetric Kernels, Vladikavkaz Math. J., 2020, vol. 22, no. 2, pp. 18-23 (in Russian). DOI: 10.46698/y3646-7660-8439-j.

References

1. Korotkov, V. B. On Some Properties of Partially Integral Operators, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1974, vol. 217, no. 4, pp. 752-754 (in Russian).
2. Korotkov, V. B. Integral&wye operatory [Integral Operators], Novosibirsk, Izd-vo Novosib. Gos. Un-ta, 1977, 68 p. (in Russian).
3. Haimos, P. R. and Sunder, V. S. Bounded Integral Operators on L2 Spaces, Berlin, Heidelberg, New York, Springer Verlag, 1978, 134 p.

no. 1, pp. 89-92. DOI: 10.1134/S0037446619010105. 5. Korotkov, V. B. Integral&wye operatory [Integral Operators], Novosibirsk, Nauka, 1983, 224 p. (in Russian).

Math. J., 2016, vol. 18, no. 1, pp. 36-41 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC.2016.1.5945. 7. Korotkov, V. B. Integral Equations of the Third Kind with Unbounded Operators, Siberian Mathematical Journal, 2017, vol. 58, no. 2, pp. 255-263. DOI: 10.1134/S0037446617020070.

Received October 22, 2019

vitaly B. Korotkov

Sobolev Institute of Mathematics,

4 Acad. Koptyug Ave., Novosibirsk 630090, Russia,

Leading Researcher of Laboratory

of Functional Analysis

E-mail: vitalborkor@gmail.com

ЗАМЫКАЕМЫЙ ОПЕРАТОР ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ЯДРО ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ПРЕДЕЛЬНЫЙ СПЕКТР ЛИНЕЙНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 1-ГО ИЛИ 2-ГО РОДА closable operator integral operator kerner of integral operator limit spectrum linear integral equation of the first or second kind
Другие работы в данной теме:
Контакты
Обратная связь
support@uchimsya.com
Учимся
Общая информация
Разделы
Тесты